{ Matematik & Geometri Arşivi }

ÖKLİT DIŞI GEOMETRİLER

ÖKLİT DIŞI GEOMETRİLER

Eukleides ( Öklit- İ.Ö-3.yy ) hiç şüphesiz 13 ciltlik eseri “Stoikheia” ( Elemanlar ) ile Matematik tarihinde geometrinin gelişimini çağlar boyunca etkileyen kurucu ve ekol bir isimdir.Öklit’in tanımlar,aksiyomlar ve genel kavramları kuran ve içeren eserinin en önemli bölümünde şu beş aksiyom yer alır:

1.Verilen iki noktayı bir aralık birleştirir.( İki noktadan bir doğru geçer )

2.Bir aralık  her iki ucundan sonsuza dek uzatılabilir.

3.Merkezi ve bir noktası verilen bir çember çizilebilir.

4.Tüm dik açılar eşittir.

5.Verilen bir noktadan verilen bir doğruya yalnız ve yalnız bir paralel doğru çizilebilir.

Öklit bu aksiyomları ile geometriyi kendi içinde çelişkisiz ve tutarlı bir bilim durumuna getirmiştir.Ta ki kendinden iki bin yıl sonrasına kadar.

         Öklit’in bu tanımlamaları ve kurduğu geometri 17. ve 18.yy.a kadar kesin hakimiyetini sürdürmüş ve bu yıllarda R.Descartes, Monge , Pascal ve Poncelet’in oluşturduğu cebirsel, analitik, tasarı ve izdüşümsel geometriler de Öklitçi temellere oturmaktan kurtulamamışlardır.Ancak Öklit’in “ bir doğruya dışındaki bir noktadan bir  ve yalnız bir paralel doğru çizilebilir.” dediği 5. aksiyomu 19. yy.ın başlarında matematikçiler arasında büyük tartışmaların kaynağı olmuş ve yeni geometrilerin kurulmasına ilham vermiştir.

         19.yy.ın başlarında matematiğin geldiği noktada, Öklit’in 5. aksiyomunun yanlış olduğu varsayılarak, yerine başka aksiyom(lar) yerleştirilerek çok ilginç özellikler taşıyan yeni geometriler kurulmaya başlanmıştır.Bu dönemde  Rus matematikçi  N.Lobachevsky ( 1793-1856 ) , Macar matematikçi j.Bolyai ( 1802-1860 ) ve matematiğin taçsız kralı C.F.Gauss, Öklit’in 5. aksiyomunu kanıtlamak yerine bir başkası ile değiştirmeyi seçmekle yeni geometriler kurulabileceğini gösterdiler. N.Lobachevsky ve J.Bolyai birbirinden bağımsız olarak Hiperbolik Geometri’yi buldular.Hiperbolik geometride bir “doğru”nun düz olması gerekmez ve paralel doğrular kesişmemelerine rağmen asimptot oldukları için birbirlerinden eşit uzaklıkta kalmaz.

         1854’te G.F.Bernhard Riemann ( Alman matematikçi ) 5. aksiyomun tersini kabul ederek : “Bir noktadan dışındaki bir doğruya hiçbir paralel doğru çizilemez.” şeklinde ve “bir doğru parçası doğrusal bir çizgi üzerinde sürekli uzatılabilir.” aksiyomunu da “bir doğru sınırsızdır ama sonsuz değildir.” ( yani doğrunun başlangıç ve bitiş noktaları yoktur ama uzunluğu sonludur.) şeklinde değiştirdi.Böylece küresel

yada Eliptik Geometri’yi kurdu. B.Riemann’ın aksiyomları tüm doğruların büyük çemberler olduğu kürenin yüzeyindeki geometride gerçekleşebilir.( Büyük çember: merkezi kürenin merkezi olan kürenin yüzeyindeki bir çemberdir.Küresel geometrideki doğrular iki noktada kesişen büyük çemberlerdir.Bu yüzden hiçbir doğru paralel değildir.) B.Riemann’ın kurduğu bu eliptik geometri geliştirdiği n-boyutlu eğri uzay kavramı ve bulduğu “iki nokta arasındaki uzaklığı tanımlamanın bir geometri kurmak için yeterli olduğu” gerçeği yeni bir dönüm noktası olmuştur.

         Bu noktada söyleyebileceğimiz en önemli sonuç Öklit geometrisi dışında bir bakış açısı ile baktığımızda içinde Öklit dışı geometrilerin yer alabileceği değişik “dünya”ların tanımlanabilmesidir.

         Örneğin küresel geometride üçgenin iç açılarının toplamı 180⁰ den büyüktür ve üçgenin alanı büyüdükçe açılarının toplamı da artar.

         Fransız matematikçi Henri Poincare ( 1854-1912 ) nin modeli ise çok ilginçtir.Poincare’nin düşsel evreninde merkez  0⁰ sıcaklıkta bir daireyle belirli üç boyutlu bir modeldir.Merkezden uzaklaştıkça çevredeki sıcaklık artar.Burada nesnelerin ve varlıkların sıcaklık değişikliklerinden habersiz olduklarını her şeyin büyüklüğünün hareket ettikçe değiştiğini varsayarsak her nesne ve canlı merkeze yaklaştıkça büyür ve merkezden uzaklaştıkça orantılı olarak küçülür.Her şeyin büyüklüğü değiştiği için kimse büyüklüklerin değiştiğini fark edemeyecek ve bundan haberi olmayacaktır.Herhangi birinin adımları sınırlara yaklaştıkça küçülecek ve sınıra hiç yaklaşmıyormuş gibi görünecektir.Dolayısı ile bu dünya sonsuzmuş gibi görünür.Burada iki nokta arasındaki en kısa yol bir eğridir.( Acaba evrendeki konumumuza bakabilseydik,

ışık hızıyla yolculuk edebilseydik boyumuzda değişiklikler olduğunu fark edebilir miydik?)

         20.yy.ın başında A.Einstein’in geliştirdiği genel görelilik kuramı ile Riemann geometrisi arasındaki uyum ,başlangıçta yararsız bulunan Öklit dışı geometrilerin üstünlüğünün ilk adımını oluşturdu.Ardından Hilbert’in sonsuz boyutlu metrik geometrisinin ,atom kuramının matematiksel yapısını açıklayabileceğinin ortaya çıkmasıyla Öklit Dışı Geometrilerin önemi daha iyi anlaşılmaya başlandı.

         Öklitçi ve Öklit dışı geometrileri daha genel bir geometrinin özel halleri olarak düşündüğümüzde kendi içlerinde tutarlı ve çelişkisiz oldukları , bununla birlikte uygulanabilirlik açısından Öklit dışı geometrilerin daha kullanışlı ve evrenimizdeki olgulara daha isabetli açıklamalar getirmeye yaradıkları sonucuna ulaşabiliriz.

Yararlanılan Kaynaklar

 Matematik ve Sanat ( Proje-O.Murtaza GÖKDAL )

Yaşayan Matematik ( Theoni PAPPAS )

G.Hachette